2025年度邵逸夫數學科學獎頒予深谷賢治 (Kenji Fukaya)，以表彰他在辛幾何學領域的開創性工作，特別是預見到如今被稱為深谷範疇的存在，該範疇由辛流形上的拉格朗日子流形組成。同時，他也領導了構建這一範疇的艱鉅任務，並隨後在辛拓撲、鏡像對稱和規範場論方面作出了突破性且影響深遠的貢獻。深谷賢治是中國北京雁棲湖應用數學研究院及清華大學丘成桐數學科學中心教授。

在經典力學中，物理系統的時間演化被描述為由哈密頓函數所決定的相空間中的流。在1960年代，阿諾德提出了一系列猜想，旨在研究當哈密頓量具有時間週期性時，該流的週期解數量的下界。在現代數學中，相空間被推廣為辛流形。一個精細的猜想則涉及辛流形上兩個拉格朗日子流形的交點數量之下界。

在1980年代，基於無限維莫爾斯理論的思想，弗洛爾開創了拉格朗日弗洛爾理論，作為攻克阿諾德猜想的路徑。在對辛流形和拉格朗日子流形作出某些假設的情況下，弗洛爾從一個非線性偏微分方程的解空間 (稱為模空間) 中構建出弗洛爾同調，並將其應用於解決幾個特殊情況下的阿諾德猜想。然而，若沒有這些假設條件，模空間可能極為複雜且奇異，導致證明一般情況下的阿諾德猜想仍舉步維艱。

深谷和他的合作夥伴吳、太田和小野一起建立並大大擴展了拉格朗日弗洛爾理論，這是他的主要成就之一。

大約在1993年，基於莫爾斯同倫的思想，深谷在複雜的模空間中發現了一種更高階的代數結構，並提出一項宏偉構想：為任何辛流形賦予一個A-無窮範疇 — 如今被稱為深谷範疇。

當時，要實現他的構想，仍欠缺大多數必要工具。主要困難之一在於如何處理模空間的奇異性。深谷引入並發展了倉西結構理論，先與小野合作，後與吳、太田和小野共同推進，建立了一種方法，將虛擬基本鏈附加到配備倉西結構的奇異空間上，並構建這些鏈的相交理論。他們又逐一克服了無數艱難挑戰，此項成就堪稱壯舉。

深谷範疇除了具有內在美之外，還是辛拓樸中一種非常高效的工具。事實上，深谷和他的合作者們在特定拉格朗日子流形的不可移置性上取得嶄新成果，並在某些辛流形的哈密頓微分同胚群上構造了新的擬同構。

深谷範疇之所以吸引眾多不同領域傑出數學家的關注，其中一個重要原因在於康采維奇所提出的同調鏡像對稱猜想，該猜想被表述為卡拉比–丘流形的深谷範疇與其鏡像流形上相關凝聚層的導出範疇之間的等價關係。深谷為鏡像對稱的發展作出了變革性的貢獻，尤其是以提出了族弗洛爾同調最為卓著。

早期，深谷還透過其個人著作及與奇格、格羅莫夫和山口合作，對黎曼幾何和規範場論作出了重要貢獻。

最近，深谷與達米和利皮揚斯基合作，用拉格朗日弗洛爾理論在關於三維流形上的弗洛爾同調的阿蒂亞–弗洛爾猜想方面取得了令人矚目的進展，而該猜想實際上是他最初引入深谷範疇的初衷之一。

邵逸夫數學科學獎遴選委員會

2025年5月27日 香港