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新聞稿

2021年度邵逸夫數學科學獎平均頒予尚–米歇爾 • 比斯姆 (Jean-Michel Bismut) 傑夫 • 奇格 (Jeff Cheeger),以表彰他們對 幾何學的貢獻。他們非凡的見解改變了現代幾何,其影響歷久彌新。尚–米歇爾 • 比斯姆是法國巴黎第十一大學數學系榮譽教授。 傑夫 • 奇格是美國紐約大學科朗數學研究所數學教授。

幾何學是最古老的數學分支之一,可追溯至古希臘及更遠。古希臘人有一個為人熟識但長久沒有解決的問題︰平行公設是否可以從歐幾里得的其他公理中推斷出來?平行公設就是說:二維面上有一線及不在線上的一點,若另有一線穿過這點,不會與第一條線會合。這個問題直到十九世紀才得以解答。高斯 (Gauss)、波利亞伊 (Bolyai) 和洛巴切夫斯基 (Lobachevsky) 已證明答案是否定的,他們表明在數學上自洽的不同幾何形狀中,其他公理成立但平行公設並不成立。而且,對於這些非歐幾里得幾何結構,絕非稀奇異端,而是現代數學的基礎。

從這些概念出發,特別有賴黎曼 (Riemann) 的工作,流形的概念成為了幾何學的中心。流形可以想像為在三維空間中曲面的高維推廣 (儘管流形的「本質內在」描述,要比嵌入高維空間的觀點更為優勝)。流形在數學和物理學上無處不在,關於流形的研究導致數理學科的重要發展,並產生許多令人著迷而尚未解決的問題。

這些發展之一就是意識到往往可以使用局域工具來計算流形的整體拓撲量。例如,著名的高斯—博內定理證明一個表面擁有多少個「洞」 (例如,冬甩炸面圈有一個洞,某些8字形椒鹽卷餅有兩個等等),可以利用曲率這個局域數量的表面積分計算出來。這個想法隨後被廣泛推廣,其中一個亮點是1963年著名的阿蒂亞–辛格指數定理,該定理孕育出數學裡指數理論整個新領域。

比斯姆在這個領域中成為核心角色。在他職業生涯的早期,他對概率論作出了深遠貢獻,因而對數學金融理論產生重大影響。後來,他將概率論的思想引入到指數理論當中,對所有主要定理重新驗證,並將研究範圍廣泛擴大,這使他能夠將指數理論與數學的其他部分聯繫起來,在看來遙遠的數學甚至物理問題上得以應用,包括在常用於數論中來研究高維丟番圖方程的阿拉克洛夫幾何領域,比斯姆開發的工具已用於計算格羅莫夫–威滕不變量屬類 1。近年來,他的工作改變我們對塞爾伯格跡公式的想法,該公式是表示論和現代數論的基本工具。他研究工作別具特色,巧妙運用指數理論,證明明確公式,以表達前人從未敢嘗試計算的數量。

奇格在現代幾何學的一個重要話題上作出了深遠貢獻,了解曲率條件對流形結構的影響。他在這方面的研究工作產生了重大影響—例如,佩雷爾曼 (Perelman) 在解決龐加萊猜想時就充分利用這一點。他創出了現在稱為奇格常數,在組合數學和理論計算機科學領域上家喻戶曉。這是將流形分割成兩部分的超曲面的最小面積,奇格將此面積與該流形上拉普拉斯–貝爾特拉算子的第一個不平凡特徵值聯繫起來。此結果應用於圖表的離散版本,在研究隨機採樣的深奧算法和高維積分的發展及許多其他的應用發揮了作用。

比斯姆奇格也曾合作,並將著名的 eta 不變式,從流形擴展到流形族,藉此沿著合併中的空間序列明確地計算出 eta 不變式的極限,這項工作廣受好評。

在過去的幾十年,比斯姆奇格解決了長期未決的問題,碩果累收,至今不息,並引入新思維、創造新工具,大大地擴展現代幾何學可及的範圍,改變了這個學術領域。


邵逸夫數學科學獎遴選委員會
(譯自英文原稿)


2021年6月1日   香港