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新聞稿

2020年度邵逸夫數學科學獎平均頒予亞歷山大 • 貝林森 (Alexander Beilinson) 大衛 • 卡茲丹 (David Kazhdan),以表彰他們對表示論,以及許多其他數學領域的重大影響和深遠貢獻。亞歷山大 • 貝林森是美國芝加哥大學大衛和瑪麗•溫頓格林講座教授。大衛 • 卡茲丹是以色列耶路撒冷希伯來大學數學教授。

亞歷山大 • 貝林森大衛 • 卡茲丹兩位數學家對被稱為表示論的數學分支作出了深遠貢獻,他們也為許多其他領域帶來根本性的影響而聞名,例如算術幾何學、K理論、共形場論、數論、代數和複數幾何、群論以及廣泛的代數領域。除了證明重要定理,他們還創造了一些概念性工具,這些工具對其他數學家取得突破至關重要。他們的工作既深且廣,促進了諸多數學領域的長足發展。

群論與對稱性的概念有著密切關連,群本身是抽象的概念,但可以通過對某些數學對象的變換或對稱關係(通常是向量空間的線性變換)來「描述」,這種具體的描述就是群的表示。眾所周知,群的表示十分重要,使許多關於群論的問題簡化為較熟悉的線性代數問題。群的表示在物理學上也相當重要,例如,物理系統的對稱群決定了該系統的方程解的一些重要特性,而群表示能將這對稱群描述清楚。大致而言,表示論是對數學和物理學基本對稱性的研究。對稱群有很多不同的種類:有限群、李群、代數群、p-adic群、圈群、賦值向量群等等。正因為這樣,貝林森卡茲丹的工作在許多不同領域上作出貢獻。

卡茲丹其中一個最具影響力的想法是引進一個群的特性,稱為卡茲丹特性(T)。在各種群表示中,總有一個令人不感興趣的「平凡表示」,它將群的每一個元素與對物體完全沒有任何作用的「變換」聯繫起來。儘管平凡表示本身並不令人感興趣,但更有趣的是關乎另一個表示與平凡表示有多接近。特性(T)為該問題提供了精確的量化意義。卡茲丹使用特性(T)解答了兩個有關李群離散子群的難題。自此,特性(T)在 群表示論的許多方面都具極其重要的應用,局部域上代數群中的格、遍歷理論、幾何群論、擴張子、算子代數和網絡理論等,並且已被公認為表示論中真正的基本概念。

繼這一個突破,卡茲丹也解決了一些表示論和在李群中有關格的難題,例如賽爾貝格猜想中不一致的格,以及關於仿射赫克代數的分類的施普林格猜想。

與喬治 • 盧斯蒂格合作解決上述最後一個問題時,卡茲丹引進一類重要的多項式,並制訂出一對非常有影響力的(等價)猜想。亞歷山大 • 貝林森的其中一個成就,是與約瑟夫 • 伯恩斯坦一起證明這些猜想(這些猜想也由聖呂克 • 布萊林斯基和柏原正樹獨立證明)。 該證明引進的方法,揭示出一個稱為幾何表示論的領域,謀求了解群表示的幾何和分類結構的深層基礎。卡茲丹在該領域的發展也發揮重要作用,從這方面研究所得的洞見已用於解決幾個難題。

貝林森、伯恩斯坦和皮埃爾 • 德利涅創立的另一著名概念稱為反常層。避開專業術語去嘗試解釋反常層是不可行的,但一個頗為人知的說法首先指出反常層既不是反常也不是層。這概念可說是真正深奧的發現,雖然這概念的定義絕不直觀,但至今被視為「拓撲學其中一個最自然和最基本的事物」(引自相同的說法)。朗蘭茲綱領是數學研究其中一個核心目標,貝林森的概念亦對朗蘭茲綱領造成深遠影響。 例如,假若沒有這概念,便難以想像吳寶珠完成「基本引理」的工作,以及勞倫特和文森特 • 拉夫福格的建樹(三位皆因這項工作而曾獲大獎)。卡茲丹誠然把數學的卓見帶入這一組豐富的意念中。通過指出軌道積分可以演繹為某些有限域上的代數簇的計數點,他和盧斯蒂格開闢了證明基本引理的通道,自此,卡茲丹繼續在這個課題上發揮重大影響。貝林森更因提出與 L 函數和動機理論有關的深奧猜想而聞名,不但完全改變對這兩個主題的理解,並導致相關工作激增。

貝林森卡茲丹站在過去數十年許多最令人振奮的數學發展的核心,這些發展持續不息。他們獲頒2020年度邵逸夫數學科學獎,實至名歸。


邵逸夫數學科學獎遴選委員會
(譯自英文原稿)


2020年5月21日   香港