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新闻稿

2020年度邵逸夫数学科学奖平均颁予亚历山大 • 贝林森 (Alexander Beilinson) 大卫 • 卡兹丹 (David Kazhdan),以表彰他们对表示论,以及许多其他数学领域的重大影响和深远贡献。亚历山大 • 贝林森是美国芝加哥大学大卫和玛丽•温顿格林讲座教授。大卫 • 卡兹丹是以色列耶路撒冷希伯来大学数学教授。

亚历山大 • 贝林森大卫 • 卡兹丹两位数学家对被称为表示论的数学分支作出了深远贡献,他们也为许多其他领域带来根本性的影响而闻名,例如算术几何学、K理论、共形场论、数论、代数和复数几何、群论以及广泛的代数领域。除了证明重要定理,他们还创造了一些概念性工具,这些工具对其他数学家取得突破至关重要。他们的工作既深且广,促进了诸多数学领域的长足发展。

群论与对称性的概念有著密切关连,群本身是抽象的概念,但可以通过对某些数学对象的变换或对称关系(通常是向量空间的线性变换)来「描述」,这种具体的描述就是群的表示。众所周知,群的表示十分重要,使许多关於群论的问题简化为较熟悉的线性代数问题。群的表示在物理学上也相当重要,例如,物理系统的对称群决定了该系统的方程解的一些重要特性,而群表示能将这对称群描述清楚。大致而言,表示论是对数学和物理学基本对称性的研究。对称群有很多不同的种类:有限群、李群、代数群、p-adic群、圈群、赋值向量群等等。正因为这样,贝林森卡兹丹的工作在许多不同领域上作出贡献。

卡兹丹其中一个最具影响力的想法是引进一个群的特性,称为卡兹丹特性(T)。在各种群表示中,总有一个令人不感兴趣的「平凡表示」,它将群的每一个元素与对物体完全没有任何作用的「变换」联系起来。尽管平凡表示本身并不令人感兴趣,但更有趣的是关乎另一个表示与平凡表示有多接近。特性(T)为该问题提供了精确的量化意义。卡兹丹使用特性(T)解答了两个有关李群离散子群的难题。自此,特性(T)在 群表示论的许多方面都具极其重要的应用,局部域上代数群中的格、遍历理论、几何群论、扩张子、算子代数和网络理论等,并且已被公认为表示论中真正的基本概念。

继这一个突破,卡兹丹也解决了一些表示论和在李群中有关格的难题,例如赛尔贝格猜想中不一致的格,以及关於仿射赫克代数的分类的施普林格猜想。

与乔治 • 卢斯蒂格合作解决上述最后一个问题时,卡兹丹引进一类重要的多项式,并制订出一对非常有影响力的(等价)猜想。亚历山大 • 贝林森的其中一个成就,是与约瑟夫 • 伯恩斯坦一起证明这些猜想(这些猜想也由圣吕克 • 布莱林斯基和柏原正树独立证明)。 该证明引进的方法,揭示出一个称为几何表示论的领域,谋求了解群表示的几何和分类结构的深层基础。卡兹丹在该领域的发展也发挥重要作用,从这方面研究所得的洞见已用於解决几个难题。

贝林森、伯恩斯坦和皮埃尔 • 德利涅创立的另一著名概念称为反常层。避开专业术语去尝试解释反常层是不可行的,但一个颇为人知的说法首先指出反常层既不是反常也不是层。这概念可说是真正深奥的发现,虽然这概念的定义绝不直观,但至今被视为「拓扑学其中一个最自然和最基本的事物」(引自相同的说法)。朗兰兹纲领是数学研究其中一个核心目标,贝林森的概念亦对朗兰兹纲领造成深远影响。 例如,假若没有这概念,便难以想像吴宝珠完成「基本引理」的工作,以及劳伦特和文森特 • 拉夫福格的建树(三位皆因这项工作而曾获大奖)。卡兹丹诚然把数学的卓见带入这一组丰富的意念中。通过指出轨道积分可以演绎为某些有限域上的代数簇的计数点,他和卢斯蒂格开辟了证明基本引理的通道,自此,卡兹丹继续在这个课题上发挥重大影响。贝林森更因提出与 L 函数和动机理论有关的深奥猜想而闻名,不但完全改变对这两个主题的理解,并导致相关工作激增。

贝林森卡兹丹站在过去数十年许多最令人振奋的数学发展的核心,这些发展持续不息。他们获颁2020年度邵逸夫数学科学奖,实至名归。


邵逸夫数学科学奖遴选委员会
(译自英文原稿)


2020年5月21日   香港