从牛顿和莱布尼茨开始,微积分学就和力学结缘,自此几何与物理成为紧密相关的学问,一枝两叶。在19世纪,几何学发展迅速,使人们充分了解了2维曲面的各种几何变化,包括代数曲线的结构与物理学中流体力学的多种性质。

3维空间与4维时空是20世纪与21世纪物理学与几何学研究的重点。3维空间与4维时空有多种奇妙的特性。西蒙.唐纳森(Simon K Donaldson)克利福.陶布斯(Clifford H Taubes) 引导出全新的观念与技巧,做出了突出的贡献。这些全新的观念与技巧很多是从理论物理,包括量子场论,发展出来的。

19世纪ClerkMaxwell写下了有名的Maxwell方程组,奠定了电磁学的理论基础。William Hodge在20世纪的初年发展Maxwell方程式为新的几何工具,对解决代数几何领域中的问题有巨大影响,推广了19世纪Bernhard Riemann的工作。

20世纪中叶,杨振宁(Yang)与Mills推广Maxwell方程,用以解释核子之间的基本力量。这些推广的方程式是非线性的,具有复杂的,深入的,新的特点。唐纳森在此方面的研究自陶布斯的解析方法开始,得出极重要的新结果,更发展成几何学中一个新的极美妙的领域。

这个新的领域显示出Yang-Mills方程式的解与4维曲面的几何学有密切的关系。在这方面陶布斯定理,既重要又漂亮,解释了许多"量子不变量"的几何意义。一些过去的猜想,通过近年来的这些发展都得到解决。而这方面的研究还正方兴未艾。

唐纳森与陶布斯彻底改变了我们对时空的几何结构的深入了解。


邵逸夫数学科学奖遴选委员会
(译自英文原稿)

2009年6月16日 香港