2017年度邵逸夫数学科学奖平均颁予亚诺什 • 科拉尔 (János Kollár)克莱尔 • 瓦赞 (Claire Voisin),以表彰他们在多个代数几何核心范畴所取得的卓越成果。这些成果革新了这领域,使一些长期令人束手无策的问题因而得以解决。亚诺什 • 科拉尔 是美国普林斯顿大学数学教授。克莱尔 • 瓦赞是法国法兰西学院代数几何讲座教授。

自古以来,研究多项式及其解,都是数学的一个中心主题。代数几何研究多变量多项式解集的特性。一个简单的例子就是 x2 + y2 + z2 = 1,其解集是半径为1的球面。

多项方程式的解集被称为「簇」。这个例子说明簇是几何实体(或几何对象)。数学家在簇的代数和几何性质之关系的研究中,取得非常丰富的成果。代数几何作为数学的一个主要分支,其发展对数学整体有着深远影响,范围不限于代数和几何方面,而延申至数论及数学物理学等多个范畴。

如两个簇在减去了适当的小子集后相同,它们就被称为双有理等价。而双有理等价于一平常n维空间的簇被称为有理簇。过去几十年,在代数几何中一些最令人鼓舞的进展正是更深入地了解高维空间簇的双有理分类。例如,森重文的极小模型纲领获颁菲尔兹奖。一些最重要的突破刻划了有理簇的特征。亚诺什 • 科拉尔克莱尔 • 瓦赞都为这发展作出了主要贡献。

除了双有理分类方面的工作之外,科拉尔最近在一个于未来数十年将深远影响着代数几何的方向上有突出的工作,他对极小模型纲领提供了重要补充:高维簇模空间的定义和研究。模空间可以被看作为精密的几何结构,它的点表示这些簇的等价类。这个领域非常重要,从大量有关一维簇的模空间的论文中可以看到此点。目前仍有拓扑学家、组合论学家,尤其是物理学家皆关心这些问题。即使对(代数)曲面而言,模空间的处理已是一个非常微妙和困难的问题,而科拉尔的想法几乎界定了高维模空间的领域。

瓦赞的主要成就是解决了Kodaira问题,首先是观察到一个复投射流形的变形都是Kähler流形(大致来说是一个局部地具有与复数兼容结构的几何集),并研究其逆命题是否真确。她发现了一些反例:就是一些Kähler流形,它们不但不是投射流形的变形,甚至与投射流形并不拓扑等价。瓦赞的另一个开创性成就是建立了一种新技巧,可以用来证明一些簇不是有理的,这个突破引致了许多以前难以想象的新结果。她第三个显着的工作成果是对霍奇猜想的一个推广提出了反例。霍奇猜想是数学中最难的问题之一(也是克雷数学研究所的七个千禧年大奖难题之一),此反例排除了几个解决霍奇猜想的途径。


邵逸夫数学科学奖遴选委员会
(译自英文原稿)


2017年5月23日  香港