從牛頓和萊布尼茨開始,微積分學就和力學結緣,自此幾何與物理成為緊密相關的學問,一枝兩葉。在19世紀,幾何學發展迅速,使人們充分了解了2維曲面的各種幾何變化,包括代數曲線的結構與物理學中流體力學的多種性質。

3維空間與4維時空是20世紀與21世紀物理學與幾何學研究的重點。3維空間與4維時空有多種奇妙的特性。西蒙.唐納森(Simon K Donaldson)克利福.陶布斯(Clifford H Taubes) 引導出全新的觀念與技巧,做出了突出的貢獻。這些全新的觀念與技巧很多是從理論物理,包括量子場論,發展出來的。

19世紀ClerkMaxwell寫下了有名的Maxwell方程組,奠定了電磁學的理論基礎。William Hodge在20世紀的初年發展Maxwell方程式為新的幾何工具,對解決代數幾何領域中的問題有巨大影響,推廣了19世紀Bernhard Riemann的工作。

20世紀中葉,楊振寧(Yang)與Mills推廣Maxwell方程,用以解釋核子之間的基本力量。這些推廣的方程式是非線性的,具有複雜的,深入的,新的特點。唐納森在此方面的研究自陶布斯的解析方法開始,得出極重要的新結果,更發展成幾何學中一個新的極美妙的領域。

這個新的領域顯示出Yang-Mills方程式的解與4維曲面的幾何學有密切的關係。在這方面陶布斯定理,既重要又漂亮,解釋了許多"量子不變量"的幾何意義。一些過去的猜想,通過近年來的這些發展都得到解決。而這方面的研究還正方興未艾。

唐納森與陶布斯徹底改變了我們對時空的幾何結構的深入了解。


邵逸夫數學科學獎遴選委員會
(譯自英文原稿)

2009年6月16日  香港