2017年度邵逸夫數學科學獎平均頒予亞諾什 • 科拉爾 (János Kollár)克萊爾 • 瓦贊 (Claire Voisin),以表彰他們在多個代數幾何核心範疇所取得的卓越成果。這些成果革新了這領域,使一些長期令人束手無策的問題因而得以解決。亞諾什 • 科拉爾 是美國普林斯頓大學數學教授。克萊爾 • 瓦贊是法國法蘭西學院代數幾何講座教授。

自古以來,研究多項式及其解,都是數學的一個中心主題。代數幾何研究多變量多項式解集的特性。一個簡單的例子就是 x2 + y2 + z2 = 1,其解集是半徑為1的球面。

多項方程式的解集被稱為「簇」。這個例子說明簇是幾何實體(或幾何對象)。數學家在簇的代數和幾何性質之關係的研究中,取得非常豐富的成果。代數幾何作為數學的一個主要分支,其發展對數學整體有著深遠影響,範圍不限於代數和幾何方面,而延申至數論及數學物理學等多個範疇。

如兩個簇在減去了適當的小子集後相同,它們就被稱為雙有理等價。而雙有理等價於一平常n維空間的簇被稱為有理簇。過去幾十年,在代數幾何中一些最令人鼓舞的進展正是更深入地了解高維空間簇的雙有理分類。例如,森重文的極小模型綱領獲頒菲爾茲獎。一些最重要的突破刻劃了有理簇的特徵。亞諾什 • 科拉爾克萊爾 • 瓦贊都為這發展作出了主要貢獻。

除了雙有理分類方面的工作之外,科拉爾最近在一個於未來數十年將深遠影響著代數幾何的方向上有突出的工作,他對極小模型綱領提供了重要補充:高維簇模空間的定義和研究。模空間可以被看作為精密的幾何結構,它的點表示這些簇的等價類。這個領域非常重要,從大量有關一維簇的模空間的論文中可以看到此點。目前仍有拓撲學家、組合論學家,尤其是物理學家皆關心這些問題。即使對(代數)曲面而言,模空間的處理已是一個非常微妙和困難的問題,而科拉爾的想法幾乎界定了高維模空間的領域。

瓦贊的主要成就是解決了Kodaira問題,首先是觀察到一個複投射流形的變形都是Kähler流形(大致來說是一個局部地具有與複數相容結構的幾何集),並研究其逆命題是否真確。她發現了一些反例:就是一些Kähler流形,它們不但不是投射流形的變形,甚至與投射流形並不拓撲等價。瓦贊的另一個開創性成就是建立了一種新技巧,可以用來證明一些簇不是有理的,這個突破引致了許多以前難以想像的新結果。她第三個顯著的工作成果是對霍奇猜想的一個推廣提出了反例。霍奇猜想是數學中最難的問題之一(也是克雷數學研究所的七個千禧年大獎難題之一),此反例排除了幾個解決霍奇猜想的途徑。


邵逸夫數學科學獎遴選委員會
(譯自英文原稿)


2017年5月23日  香港